1

Тема: Petr Mitrichev Contest 3 :: Heavy Disc

http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=417

Кратко условие такое: найти вес диска, имеющего форму круга с центром в данной точке http://e-maxx.ru/gladtex/gladtex.php?tex=(x_0;y_0) и радиусом R, если плотность диска в каждой точке http://e-maxx.ru/gladtex/gladtex.php?tex=(x;y) равна:
http://e-maxx.ru/gladtex/gladtex.php?tex=\ln(x^2%2By^2)

Ответом на эту задачу является очень простая формула, которую можно угадать по таблице значений. Интересно другое - что аналитически эту формулу мне так и не удалось доказать, хотя, казалось бы, это всего лишь двумерный интеграл от довольно простой функции...
Интересно, кто-нибудь смог вывести эту формулу? На контесте эту задачу сдали очень многие, хотя, может, все так же по значениям угадывали формулу?..

Численное интегрирование в этой задаче, кстати, тоже не удалось пропихать.

2

Re: Petr Mitrichev Contest 3 :: Heavy Disc

Там решение на основано на теореме из матфизики -
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_f … e_property

3 Отредактировано Ralf (2010-11-16 20:20:59)

Re: Petr Mitrichev Contest 3 :: Heavy Disc

Тут нужно воспользоваться тем, что ln(x^2+y^2) есть всюду гармоническая функция(кроме точки(0;0)), в чем нетрудно убедиться, дифференцируя два раза по x, потом два раза по y. В сумме вторые частные производные дадут ноль. По свойству гармонической функции значение функции в центре круга равно усредненному значению значений функции на окружности, т.е. U(x0,y0) равен интегралу от U(x,y) по окружности, поделенному на 2*pi*r, где r есть радиус окружности. Отсюда 2*pi*r*U(x0,y0) равен интегралу по окружности от функции U(x,y). Чтобы в правой части получить интеграл по всему кругу, нужно интеграл по окружности проинтегрировать по r от 0 до R(Прежде, чем сделать все это нужно от декартовых координат перейти к полярным, каждой паре(x,y) будет соответствовать пара (r,f)(начало полярных координат можно взять в точке (x0,y0), т.е. ей соответствует пара (0;0)), где r есть расстояние точки от начала координат или же радиус, а f есть угол между Ox и вектором, направленного в эту точку из начала полярных координат). Поэтому, интегрируя обе части нашего равенства в правой части получим интеграл по всему кругу от функции U(r,f), а в правой части получим 2*pi*U(0;0)*(R^2)/2 = pi*U(0;0)*R^2. Переходя обратно к декартовым координатам, получаем окончательный ответ к задаче: pi*U(x0;y0)*R^2. Особый случай x0=0 && y0=0 нужно рассмотреть отдельно.