MAXimal | |
добавлено: 11 Jun 2008 10:25 Содержание [скрыть] Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольникаМногоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Теорема ПикаФормулаПусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью. Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через . Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика: В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин. Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г. ДоказательствоДоказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:
Обобщение на высшие размерностиК сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности. Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами: где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай. Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.
|