MAXimal | |
добавлено: 25 Apr 2011 22:25 Содержание [скрыть] Центры тяжести многоугольников и многогранниковЦентром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение. Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии. В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой. Двумерный случай: многоугольникиНа самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:
Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно. Центр масс системы точекЭто самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек: где В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан: Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке и, выражая отсюда Центр масс каркасаБудем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же. Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка. Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим: где Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон). Центр масс сплошной фигурыМы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу. Случай треугольникаУтверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин: Случай треугольника: доказательствоПриведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов. Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way". Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид. Разобьём данный треугольник Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого Пусть теперь вектор Наша цель — показать, что вектора Обозначим через Искомый центр масс Таким образом, вектор от вершины откуда находим: Таким образом, мы доказали, что вектора Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении Случай многоугольникаПерейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников. Окончательная формула получается следующей: где Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники Случай многоугольника: альтернативный способС другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка где Трёхмерный случай: многогранникиАналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:
Центр масс системы точекКак и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат: который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек. Центр масс каркаса многогранникаАналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек. Центр масс поверхности многогранникаКаждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить. Центр масс сплошного многогранникаСлучай тетраэдраКак и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра. Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани). Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра. Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра: (это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин. Случай произвольного многогранникаПерейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника. Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.
|