MAXimal

добавлено: 25 Apr 2011 22:25
редактировано: 24 Nov 2011 0:14

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

$\vec{r_c} = \frac{ \sum\limits_i \vec{r_i} ~ m_i [...]$

где $m_i$ — массы точек, $\vec{r_i}$ — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и $\vec{r_c}$ — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

$\vec{r_c} = \frac{ \vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r[...]$

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке $r_c$ , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки $r_c$ , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

$\sum\limits_i \left( \vec{r_i} - \vec{r_c} \right[...]$

и, выражая отсюда $\vec{r_c}$ , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

$\vec{r_c} = \frac{ \sum\limits_i \vec{r_i^\prime}[...]$

где $\vec{r_i^\prime}$ — точка-середина $i$ -ой стороны многоугольника, $l_i$ — длина $i$ -ой стороны, $P$ — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

$\vec{r_c} = \frac{ \vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r[...]$

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way".

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник $T$ на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику $T$ с коэффициентом $1/2$ .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого $c_{12}$ лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка $c_{12}$ находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника $T$ :

Пусть теперь вектор $\vec{r}$ — вектор, проведённый из вершины $A$ к центру масс $c_1$ треугольника №1, и пусть вектор $\vec{m}$ — вектор, проведённый из $A$ к точке $c_{12}$ (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора $\vec{r}$ и $\vec{m}$ коллинеарны.

Обозначим через $c_3$ и $c_4$ точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка $c_{34}$ , являющаяся серединой отрезка $c_3 c_4$ . Более того, вектор от точки $c_{12}$ к точке $c_{34}$ совпадает с вектором $\vec{r}$ .

Искомый центр масс $c$ треугольника $T$ лежит посередине отрезка, соединяющего точки $c_{12}$ и $c_{34}$ (поскольку мы разбили треугольник $T$ на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины $A$ к центроиду $c$ равен $\vec{m} + \vec{r}/2$ . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику $T$ с коэффициентом $1/2$ , то этот же вектор равен $2 \vec{r}$ . Отсюда получаем уравнение:

$\vec{m} + \vec{r}/2 = 2 \vec{r},$

откуда находим:

$\vec{r} = \frac{2}{3} \vec{m}.$

Таким образом, мы доказали, что вектора $\vec{r}$ и $\vec{m}$ коллинеарны, что и означает, что искомый центроид $c$ лежит на медиане, исходящей из вершины $A$ .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$ , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

$\vec{r_c} = \frac{ \sum\limits_i \vec{r_i^\circ} [...]$

где $\vec{r_i^\circ}$ — центроид $i$ -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, $S_i$ — площадь $i$ -го треугольника триангуляции, $S$ — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники $(r_1,r_{i-1},r_i)$ , где $i = 3 \ldots n$ .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка $z$ , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: $S = |\sum_{i=1}^n S_{z,p_i,p_{i+1}}|$ . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников $(z,p_i,p_{i+1})$ , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

$\vec{r_c} = \frac{ \sum\limits_i {\vec r}_{z,p_i,[...]$

где $z$ — произвольная точка, $p_i$ — точки многоугольника, ${\vec r}_{z,p_i,p_{i+1}}^\circ$ — центроид треугольника $(z,p_i,p_{i+1})$ , $S_{z,p_i,p_{i+1}}$ — знаковая площадь этого треугольника, $S$ — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. $S = \sum_{i=1}^{n} S_{z,p_i,p_{i+1}}$ ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

Центр масс системы точек — вершин многогранника.
Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

$\vec{r_c} = \frac{ \sum\limits_i \vec{r_i} ~ m_i [...]$

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

$\vec{r_c} = \frac{ \vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r[...]$

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении $1:3$ )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.