добавлено: 11 Jun 2008 10:26
редактировано: 11 Jun 2008 10:27

Пересечение двух окружностей

Даны две окружности, каждая определена координатами своего центра и радиусом. Требуется найти все их точки пересечения (либо одна, либо две, либо ни одной точки, либо окружности совпадают).

Решение

Сведём нашу задачу к задаче о Пересечении окружности и прямой.

Предположим, не теряя общности, что центр первой окружности - в начале координат (если это не так, то перенесём центр в начало координат, а при выводе ответа будем обратно прибавлять координаты центра). Тогда мы имеем систему двух уравнений:

x2 + y2 = r12
(x - x2)2 + (y - y2)2 = r22

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от квадратов переменных:

x2 + y2 = r12
x (-2x2) + y (-2y2) + (x22 + y22 + r12 - r22) = 0

Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух окружностей к задаче о пересечении первой окружности и следующей прямой:

Ax + By + C = 0,
A = -2x2,
B = -2y2,
C = x22 + y22 + r12 - r22.

А решение последней задачи описано в соответствующей статье.

Единственный вырожденный случай, который надо рассмотреть отдельно - когда центры окружностей совпадают. Действительно, в этом случае вместо уравнения прямой мы получим уравнение вида 0 = С, где C - некоторое число, и этот случай будет обрабатываться некорректно. Поэтому этот случай нужно рассмотреть отдельно: если радиусы окружностей совпадают, то ответ - бесконечность, иначе - точек пересечения нет.